Ecuaciones fraccionarias

Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

La solución es:  

Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:

1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.
2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.
4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m.
5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.
6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos.

En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denomiadores. Para eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la siguiente manera:

1. Se halla el mcm de los denominadores.
2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores. 
3. Ejemplo 1
   el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1)
   
   Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta:
     

Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule algún denominador.
Comprobación:

Ejemplo 2:

Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es {3} para ambas, pero no para la ecuación original.
Sustituyendo tenemos

Fracciones Complejas

Se considera una fracción compleja aquella en cuyo numerador o denominador o en ambos hay varias operaciones indicadas. Para -llevar a cabo la simplificación se realizan operaciones en el nu-merador y denominador separadamente hasta convertirlos en un solo quebrado cada uno de ellos y finalmente se realiza la división de los quebrados resultantes.
Ejemplos.
Simplificar:







   



na fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una o más fracciones o potencias incluyendo exponentes negativos. Hay dos métodos para simplificar fracciones complejas.
Método I
Se multiplica el numerador y denominador por el M.C.D de todas las fracciones.

 Método II
Se puede expresar la fracción como un cociente, usando el signo ÷.

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se obtiene el nuevo numerador mediante la suma (o diferencia) de los numeradores obtenidos.

El denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Por último, se simplifica, si es posible, el resultado.

Así, para calcular:

${\displaystyle \frac{x+1}{4x-8}-\frac{2x}{x^2-4}}$

reducimos las fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo, y después restamos las fracciones algebraicas obtenidas.

Como 4x - 8 = 4 · (x - 2) y x² - 4 = (x + 2) · (x - 2),

obtenemos el m.c.m. ((4x - 8), (x² - 4)) = 4 · (x + 2) · (x - 2) = 4x² - 16.

Reducimos a común denominador y restamos los numeradores:

${\displaystyle \frac{x+1}{4x-8}-\frac{2x}{x^2-4}=\frac{(x+1)·(x+2)}{4x^2-16}-\frac{2x·4}{4x^2-16}=\frac{x^2+3x+2}{4x^2-16}-\frac{8x}{4x^2-16}=\frac{x^2-5x+2}{4x^2-16}}$

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Dividir las fracciones algebraicas:

 

Basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones como estudiaste hasta ahora. Con tener en cuenta, respecto a la parte literal, que, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es suficiente.

10.21 Halla el valor de:

Respuesta: .

Solución:

Para multiplicar fracciones se halla el producto de numeradores y se divide por el producto de denominadores. Si se puede, se simplifican factores comunes:

 

10.22    Calcula el producto:

Respuesta:

Solución:
Multiplicamos la parte numérica primero y luego la parte literal sumando los exponentes de las potencias de la misma base:

Dividimos la parte numérica primero y luego la parte literal restando los exponentes de las potencias de igual base y su resultado lo colocamos donde el exponente era mayor:

  

10.23  Halla el producto de:

Respuesta:

Solución:

Indicando los productos notables y simplificando factores comunes:

10.24   Halla el producto de:

Respuesta:

Solución:

Antes de comenzar a hacer el producto debes fijarte en cada término del numerador y denominador para ver si hay factores comunes para después simplificar y trabajar con valores más pequeños.